已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1．（1）用数学归纳法证明：0＜an＜1；（2）若bn=lg（1-an），且a1=910，求无穷数列{1bn}所有项的和．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1．（1）用数学归纳法..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-29 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用数学归纳法证明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且a1=

9

10

，求无穷数列{

1

bn

}所有项的和．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立
②假设n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
当n=k+1时，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
这就是说，当=k+1时，0＜a_k＜1也成立．
根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．

（2）1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．
∴b_n=-2^n-1，∴

1

bn

= -

1

2n-1

无究数列{

1

bn

}所有项的和为：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+…=

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）=

lim

n→∞

[（-1）×

1-(

1

2

) n

1-

1

2

]=-2×

lim

n→∞

（1-(

1

2

) n）=-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an+1=-an2+2an（n∈N*），且0＜a1＜1．（1）用数学归纳法..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：