函数f（x）=x3，在等差数列{an}中，a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令bn=anSn，数列{bn}的前n项和为Tn（1）求{an}的通项公式和Sn（2）求证Tn＜13．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3，在等差数列{an}中，a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³，在等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记Sn=f(

3	an+1

)，令b_n=a_nS_n，数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求{a_n}的通项公式和S_n
（2）求证Tn＜

1

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，
∴a₁+2d=7，3a₁+3d=12
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³∴Sn=f(

3	an+1

)=a_n+1=3n+1 （6分）
（2）证明：∵b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3，在等差数列{an}中，a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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