已知双曲线C：x24-y2=1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知双曲线C：x24-y2=1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x₁，y₁）是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0．
点P（x₁，y₁）到两条渐近线的距离分别是

|x1-2y1|

5

和

|x1+2y1|

5

，
它们的乘积是

|x1-2y1|

5

?

|x1+2y1|

5

=

|x12-4y12|

5

=

4

5

．
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．
（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|²=（x-3）²+y²=(x-3)2+

x2

4

-1=

5

4

(x-

12

5

)2+

4

5

∵|x|≥2，∴当x=

12

5

时，|PA|²的最小值为

4

5

，
即|PA|的最小值为

2

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C：x24-y2=1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：