设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，使|A₁B₁|=|A₂B₂|，其中A₁、B₁和A₂、B₂分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．(

2

3

，2]

B．[

2

3

，2)

C．(

2

3

，+∞)

D．[

2

3

，+∞)

试题来源：重庆试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．
因为有且只有一对相较于点O、所成的角为60°的直线A₁B₁和A₂B₂，
所以直线A₁B₁和A₂B₂，关于x轴对称，并且直线A₁B₁和A₂B₂，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．
可得

b

a

＞tan30°，即

b2

a2

＞

1

3

，

c2-a2

a2

＞

1

3

，所以e＞

2

3

．
同样地，当

b

a

≤tan60°，即

b2

a2

＜3

b2

a2

≤3，所以e≤2．
所以双曲线的离心率的范围是(

2

3

，2]．
故选A．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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