已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，Q为双曲线左准线上的点，且QF交双曲线于第一象限一点P，若O为坐标原点，且OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e=_____

1、试题题目：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，Q为双曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，Q为双曲线左准线上的点，且QF交双曲线于第一象限一点P，若O为坐标原点，且OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e=______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

离心率 e=

c

a

左准线 x=

-a2

c

=-

a

e

右焦点（c，0） Q（ae，0）
P 是FQ中点，所以 P 点横坐标
x=

1

2

（-

a

e

+ae）=

1

2

a（e-

1

e

）
代入到双曲线方程，考虑P在第一象限，得到纵坐标
y=b

x2

a2

-1

=

b

2

(e-

1

e

) 2-4

设 e-

1

e

=t
x=

at

2

y=

b

2

?

t2-4

PF斜率 k=

b

2

t2-4

at

2

-ae

，
OP 斜率
k'=

b

2

t2-4

at

2

PF 与 OP 垂直
k k'=-1，（

b

a

）² （t²-4）=t（2e-t）
其中

b2

a2

=e₂-1
把 t 表达式代回
整理得e²+

1

e2

-6=1+

1

e2

求得e²=7
∴e=

7

故答案为：

7

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，Q为双曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：