已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|ka+b|=3|a-kb|(k＞0)，令f(k)=a?b，（1）求f(k)=a?b（用k表示）；（2）当k＞0时，f(k)≥x2-2tx-12对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|ka+b|=3|a-kb|(k＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|(k＞0)，令f(k)=

a

?

b

，
（1）求f(k)=

a

?

b

（用k表示）；
（2）当k＞0时，f(k)≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题设得|

a

|2=|

b

|2=1，对|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
两边平方得k2

a

2+2k

a

?

b

+

b

2=3(

a

2-2k

a

?

b

+k2

b

2)． …（2分）
展开整理易得f(k)=

a

?

b

=

k2+1

4k

(k＞0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f(k)=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

≥

1

2

，当且仅当k=1时取得等号．…（6分）
欲使f(k)≥x2-2tx-

1

2

对任意的t∈[-1，1]恒成立，等价于

1

2

≥x2-2tx-

1

2

…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，
所以

g(1)=2x-x2+1≥0

g(-1)=-2x-x2+1≥0

，…（11分）
解得1-

2

≤x≤

2

-1，…（13分）
故实数x的取值范围为[1-

2

，

2

-1]． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|ka+b|=3|a-kb|(k＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：