已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是_____

1、试题题目：已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)的图象上异于点Q的两点，若对于任意点M，PM≥PQ恒成立，则点P横坐标的取值范围是______．

试题来源：江苏三模试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)和图象交于点Q，∴点Q（

2

，

2

）．
由于 P、M分别是直线y=x与函数g(x)=

2

x

(x＞0)的图象上异于点Q的两点，
设M（a，

2

a

），且 a＞0，a≠

2

，设P（b，b），则由PM≥PQ恒成立，
可得（b-a）²+(b-

2

a

)2≥(b-

2

)2+(b-

2

)2 恒成立，化简可得（2a+

4

a

-4

2

）b≤a²+

4

a2

-4．
由于a＞0，a≠

2

时，故（2a+

4

a

-4

2

）＞0，且 a²+

4

a2

-4＞0，由不等式可得
b≤

a2+

4

a2

-4

2a+

4

a

-4

2

=

a4+4-4a2

2a3+4a-4

2

a 2

=

1

2a

?

(a2 -2)2

(a-

2

)2

=

1

2a

?(

a2 -2

a-

2

)2
=

1

2a

?(a+

2

)2=

a

2

+

1

a

+

2

．
即 b≤

a

2

+

1

a

+

2

．
由a＞0，a≠

2

，利用基本不等式可得

a

2

+

1

a

+

2

＞2

2

，故 b≤2

2

．
再由题意可得，b≠

2

，故点P横坐标b的取值范围是 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．
故答案为 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=x与函数g(x)=2x(x＞0)和图象交于点Q，P、M分别是直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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