设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式πf(x)＞(1π)2-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实-数学试题及答案

1、试题题目：设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(

1

π

)2-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵由①f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函数f（x）的图象与直线y=只有一个公共点，
∴

y=ax2+bx

y=x

有且只有一解，
即ax²+（b-1）x=0有两个相同的实根；
故△=（b-1）²=0?b=1，a=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(

1

π

)2-tx?f（x）＞tx-2．
因为

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立等价于
函数g（t）=xt-（

1

2

x²+x+2）＜0，t∈[-2，2]时恒成立；
∴

g(-2)＜0

g(2)＜0

?

x2-2x+4＞0

x2+6x+4＞0

?x＜-3-

5

，x＞-3+

5

故实数x的取值范围是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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