设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．（1）求b的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函数．
（1）求b的取值范围；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）f（x）=lg

1+ax

1+2x

（-b＜x＜b）是奇函数等价于：
对任意x∈（-b，b）都有

f(-x)=-f(x) ①

1+ax

1+2x

＞0 ②

①式即为lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，由此可得

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
也即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a²=4，
因为a≠2，所以a=-2，
代入②式，得

1-2x

1+2x

＞0，即-

1

2

＜x＜

1

2

，
此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于
-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，
所以b的取值范围是（0，

1

2

]．
（2）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，
由b∈（0，

1

2

]，得-

1

2

≤-b＜x₁＜x₂＜b≤

1

2

，
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0
因此f（x）在（-b，b）内是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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