已知函数f(x)=x+a，g(x)=x+2ax(a＞0)，（1）当a=1时，求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值；（2）|ag(x)+3f(x)f(x)|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+a，g(x)=x+2ax(a＞0)，（1）当a=1时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x

+a，g(x)=x+2a

x

(a＞0)，
（1）当a=1时，求|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值；
（2）|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

令f(x)=

x

+a=t，则g（x）=t²-a²，|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

at2+3t-a3

t

|．
（1）当a=1时，t≥1，故t-

1

t

+3=

(t-1)(t+1)

t

+3≥3，因此|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|=|

t2+3t-1

t

|=|t-

1

t

+3|≥3，当且仅当t=1即x=0时取等号．
所以|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|的最小值是3；
（2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|

ag(x)+3f(x)

f(x)

|＞5整理可得at²-2t-a³＞0①或at²+8t-a³＜0②．因此①式或②式对于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．显然at²+8t-a³=a（t²-a²）+8t＞0，故②式不成立．
令φ（t）=at²-2t-a³，因为△=4+4a⁴＞0，
结合该函数的图象可得

φ(1+a)＞0

1

a

＜1+a

或

φ(2+a)＞0

1

a

＞2+a

?（ I）

2a2-a-2＞0

a2+a-1＞0

或（ II）

2a2+a-2＞0

a2+2a-1＜0

．
结合a＞0可知不等式组（ I）的解为a＞

17

+1

4

，不等式组（ II）无解．所以a＞

17

+1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+a，g(x)=x+2ax(a＞0)，（1）当a=1时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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