已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a?x+2a，g(x)=12(x-2a)2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a?x+2a，g(x)=12(x-2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2

a

?x+2a，g(x)=

1

2

(x-2

a

)2．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：丹东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2

a

x+2a-

1

2

(x-2

a

)2=alnx-

1

2

x2（x＞0）（2分）
对函数h（x）求导可得，h′(x)=

a

x

-x=

-(x+

a

)(x-

a

)

x

∵x＞0
∴当0＜x＜

a

时，h′（x）＞0，h（x）在（0，

a

）上单调递增，
当x＞

a

时，h′（x）＜0，h（x）在（

a

，+∞）上单调递减
∴x=

a

是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（

a

）=

alna-a

2

（4分）
（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0
即f（x）≤g（x），当且仅当x=

e

时取等号（6分）
∴函数f（x，g（x）的图象在x=

e

处有且仅有一个公共点（

e

，

e

2

）
∵f′(x)=

e

x

-2

e

，函数f（x）的图象在x=

e

处的切线斜率k=-

e

g′(x)=x-2

e

，函数g（x）在x=

e

处的切线斜率k=-

e

∴f（x）与g（x）的图象在x=

e

处有公共的切线方程为y=-

e

x+

3e

2

（8分）
设F(x)=f(x)-(-

e

x+

3e

2

)=elnx-

e

x+

e

2

，F′(x)=

e

x

-

e

=-

e

(x-

e

)

x

(0，

e

)

e

(

e

，+∞)

F'（x）

+

0

-

F（x）

↑

极大值

↓

∴当x=

e

时，函数F（x）取得最大值0
∴f(x)≤-

e

x+

3e

2

恒成立；…（10分）
∵g(x)-(-

e

x+

3e

2

)=

1

2

x2-

e

x+

e

2

=

1

2

(x-

e

)2≥0，
∴g(x)≥-

e

x+

3e

2

在x∈R时恒成立；
∴当a=e时，k=-

e

，b=

3e

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2a?x+2a，g(x)=12(x-2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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