定义：对于函数f（x），x∈M?R，若f（x）＜f‘（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为?函数．（Ⅰ）证明：函数f（x）=ex1nx为?函数．（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的?函数f（x），求证：对于定义域内-数学试题及答案

1、试题题目：定义：对于函数f（x），x∈M?R，若f（x）＜f‘（x）对定义域内的x恒成立，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

定义：对于函数f（x），x∈M?R，若f（x）＜f'（x）对定义域内的x恒成立，则称函数f（x）为?函数．
（Ⅰ）证明：函数f（x）=e^x1nx为?函数．
（Ⅱ）对于定义域为（0，+∞）的?函数f（x），求证：对于定义域内的任意正数x₁，x₂，…，x_n，均在f（1n（x₁+x₂+…+x_n））＞f（1nx₁）+f（1nx₂）．+…+f（1nx_n）

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵f（x）=e^xlnx，
∴f′(x)=exlnx+

ex

x

，
因为x＞0，
所以

ex

x

＞0，
所以f'（x）＞f（x）
所以函数f（x）=e^x1nx为?函数．…（6分）
（Ⅱ）构造函数g(x)=

f(x)

ex

，g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

＞0，
即g（x）在R上递增，…（8分）
所以g（ln（x₁+x₂+…x_n））＞g（lnx₁），g（lnx₁），g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx₂），…，g（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞g（lnx_n）
得到

x1f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx1)

x2f(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnx2)
…

xnf(ln(x1+x2+…+xn))

x1+x2+…+xn

＞f(lnxn)
相加后，得到：f（ln（x₁+x₂+…+x_n））＞f（lnx₁）+f（lnx₂）+…+f（lnx_n）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：对于函数f（x），x∈M?R，若f（x）＜f‘（x）对定义域内的x恒成立，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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