设定义域在[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2)，OM=(x，y)，若x=λx1+（1-λ）x2，记向量ON=λOA+(1-λ)OB，现定义-数学试题及答案

1、试题题目：设定义域在[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设定义域在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，

OM

=(x，y)，若x=λx₁+（1-λ）x₂，记向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似”是指|

MN

|≤K恒成立，其中K是一个正数．
（1）证明：0≤λ≤1（2）；
（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x²（4）与y=x³（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，x₁≤x≤x₂，即x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1．
（2）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

所以B、N、A三点在一条直线上．
又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同．
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有||

MN

||=x-x²=

1

4

-(x-

1

2

)2，故|

MN

|∈[0，

1

4

]．
对于[0，1]上的函数y=x³，则有=x-x³=g（x）．
在（0，1）上，g′（x）=1-3 x²，
可知在（0，1）上y=g（x）只有一个极大值点x=

3

，
所以函数y=g（x）在（0，

3

）上是增函数；在（

3

，1）上是减函数．
又g（

3

）=

2

3

9

，故[0，|

MN

|∈[0，

2

3

9

]]．
经过比较，

1

4

＜

2

3

9

，所以取k[

1

4

，

2

3

9

），则有函数y=x²在[0，1]上可在标准k下线性近似，函数y=x³在[0，1]上不可在标准k下线性近似．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义域在[x1，x2]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：