已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（x∈R）为偶函数（1）求a的值（2）若x∈（0，+∞）时总有f（x）-（1-m）x2＞0成立，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（x∈R）为偶函数（1）求a的值（2）若x∈（0，+∞）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1（x∈R）为偶函数
（1）求a的值
（2）若x∈（0，+∞）时总有f（x）-（1-m）x²＞0成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）法一：因为函数f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）对x∈R恒成立，
即有x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，化为|x-a|=|x+a|对任意实数x恒成立，
平方得（x-a）²=（x+a）²，即4ax=0，所以a=0．（5分）
（若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分）
法二：由f（1）=f（-1）得|1-a|=|1+a|，得a=0．（3分）
此时f（x）=x²+|x|+1，满足f（-x）=f（x），
所以a=0时，f（x）为偶函数．（5分）
（2）不等式即为x²+|x|+1-（1-m）x²＞0，
即不等式mx²+x+1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立．
设g（x）=mx²+x+1，x∈（0，+∞）．
①当m=0时，g（x）=x+1＞0在（0，+∞）上恒成立；（7分）
②当m＜0时，抛物线开口向下，不等式不可能恒成立；（10分）
③当m＞0时，对称轴x=-

1

2m

＜0，
又因为g（0）=1＞0，所以不等式恒成立．（14分）
综上得m≥0．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+|x-a|+1（x∈R）为偶函数（1）求a的值（2）若x∈（0，+∞）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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