已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)单调递增，…（3分）
①0＜t＜t+2＜

1

e

，没有最小值； …（4分）
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；…（5分）
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以f(x)min=

-

1

e

，0＜t＜

1

e

.

tlnt，t≥

1

e

…（7分）
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，…（9分）
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，
则h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，…（10分）
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∵g（x）=-x²+ax-3．所以a≤h（x）_min=4；…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3．（1）求函数f（x）在[..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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