已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，2，3，…），a1=4，数列{xn}满足xn+1=t3[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠12，t≠1)、设区间Dn=[1，an]（an＞1），当x∈Dn时，-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知曲线C：f（x）=3x²-1，C上的两点A，A_n的横坐标分别为2与a_n（n=1，2，3，…），a₁=4，数列{x_n}满足xn+1=

t

3

[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠

1

2

，t≠1)、设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点p_n（x_n，f（x_n）），使得点p_n处的切线与AA_n平行，
（I）建立x_n与a_n的关系式；
（II）证明：{logt(xn-1)+1}是等比数列；
（III）当D_n+1?D_n对一切n∈N₊恒成立时，求t的范围．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为曲线在p_n处的切线与AA_n平行
∴6x_n=

3

a

2n

-1-11

an-2

?2x_n=a_n+2
（Ⅱ）∵xn+1=

t

3

[f(xn-1)+1]+1
∴xn+1=

t

3

[3(xn-1)2-1+1]+1，?x_n+1=t（x_n-1）²+1
从而log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1）?log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]
∴{log_t（x_n-1）+1}是一个公比为2的等比数列
（III）由（II）知：log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）2^n-1∴xn=1+

1

t

(2t)2n-1，从而an=2xn-2=

2

t

(2t)2n-1
∴a_n+1＜a_n，∴(2t)2n＜(2t)2n-1
∴0＜2t＜1?0＜t＜

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：f（x）=3x2-1，C上的两点A，An的横坐标分别为2与an（n=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：