已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e-1，e]上恰有两个零点，求实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（1）若对于?x∈（0，+∞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f′（x）＞0解得x＞

2

a

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

2

a

∴f（x）在区间(

2

a

，+∞)上单调递增，在区间(0，

2

a

)上单调递减
∴当x=

2

a

时，函数f（x）取得最小值ymin=a+aln

2

a

-2
由于对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以a+aln

2

a

-2＞2(a-1)
解得0＜a＜

2

e

，故a的取值范围是(0，

2

e

)
（2）依题意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，则g′(x)=

x2+x-2

x2

由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以

g(e-1)≥0

g(e)≥0

g(1)＜0

解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范围是(1，

2

e

+e-1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2x+alnx-2(a＞0)．（1）若对于?x∈（0，+∞..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：