已知函数f（x）=logax和g（x）=2loga（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．（1）求T的值；（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=logax和g（x）=2loga（2x+t-2），（a＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+t-2），（a＞0，a≠1，t∈R）的图象在X=2处的切线互相平行．
（1）求T的值；
（2）设F（x）=g（x）-f（x），当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，求A的取值范围．

试题来源：深圳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f′(x)=

1

x

logae，g′(x)=

4

2x+t-2

logae（3分）
∵函数f（x）和g（x）的图象在X=2处的切线互相平行，
∴f'（2）=g'（2）（5分）
∴

1

2

logae=

4

2×2+t-2

logae，
∴t=6（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=loga

(2x+4)2

x

，x∈[1，4]
令 h(x)=

(2x+4)2

x

=4x+

16

x

+16，x∈[1，4]∵h′(x)=4-

16

x2

=

4(x-2)(x+2)

x2

，x∈[1，4]
∴当1≤x＜2时，h′（x）＜0，
当2＜x≤4时，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是单调减函数，在（2，4]是单调增函数．（9分）
∴h（x）_min=h（2）=32，∴h（x）_max=h（1）=h（4）=36
∴当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a36，当a＞1时，有F（x）_min=log_a32．
∵当x∈[1，4]时，F（x）≥2恒成立，∴F（x）_min≥2（10分）
∴满足条件的a的值满足下列不等式组

0＜a＜1

loga36≥2

；①，或

a＞1

loga32≥2.

②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得 1＜a≤4

2

综上所述，满足条件的 a的取值范围是：1＜a≤4

2

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=logax和g（x）=2loga（2x+t-2），（a＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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