设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(a＞0)为奇函数，且|f(x)|min=22，数列{an}与{bn}满足如下关系：a1=2，an+1=f(an)-an2，bn=an-1an+1.（1）求f（x）的解析式；（2）求数列{bn}的通项公式bn；-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(a＞0)为奇函数，且|f(x)|mi..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

ax2+bx+1

x+c

(a＞0)为奇函数，且|f(x)|min=2

2

，数列{a_n}与{b_n}满足如下关系：a1=2，an+1=

f(an)-an

2

，bn=

an-1

an+1

.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（3）记S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：对任意的n∈N^*有Sn＜n+

3

2

.

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）是奇函数，得b=c=0，
由|f(x)|min=2

2

，得a=2，故f(x)=

2x2+1

x

.
（2）∵an+1=

f(an)-an

2

=

a

2n

+1

2an

∴bn+1=

an+1-1

an+1+1

=

a

2n

+1

2an

-1

a

2n

+1

2an

+1

=

a

2n

-2an+1

a

2n

+2an+1

=(

an-1

an+1

)2=

b

2n

∴bn=

b

2n-1

=

b

4n-2

═

b

2n-11

，
而b1=

1

3

，∴bn=(

1

3

)2n-1
（3）证明：由（2）

an-1

an+1

=(

1

3

)2n-1?an=

1+(

1

3

)2n-1

1-(

1

3

)2n-1

=

32n-1+1

32n-1-1

=1+

2

32n-1-1

要证明的问题即为

2

321-1-1

+

2

322-1-1

++

2

32n-1-1

＜

3

2

当n=1时，2^n-1=n
当n≥2时，2^n-1=（1+1）^n-1≥C_n-1⁰+C_n-1¹=n∴2^n-1≥n
则32n-1≥3n=3×3n-1=2×3n-1+3n-1≥2×3n-1+1
故

2

32n-1-1

≤(

1

3

)n-1
则

2

321-1-1

+

2

322-1-1

++

2

32n-1-1

≤1+

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n-1=

[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

=

3

2

-

3

2

(

1

3

)n＜

3

2

得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax2+bx+1x+c(a＞0)为奇函数，且|f(x)|mi..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：