已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b＞0成立．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；（2）解不等式：f（x+12）＜f（1x-1）；（-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）；
（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m²-2am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则-x₂∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

?（x₁-x₂），
由已知得

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴

x+

1

2

＜

1

x-1

-1≤x+

1

2

≤1

-1≤

1

x-1

≤1

，解得

-

32

≤x＜-1，
∴不等式的解集为{x|-

3

2

≤x＜-1}．
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m²-2am+3≥3，
∴m²-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m?a+m²≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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