已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，（1）证明：函数y=f（x）是奇函数．（2）求不等式f（log2（x+2））+f（log2x）＞3的解集．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，
（1）证明：函数y=f（x）是奇函数．
（2）求不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1
∴f（3）=3
∴不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3等价于不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞f（3）
∵函数y=f（x）在定义域R上为减函数，
∴log₂（x+2）+log₂x＜3
∴

x+2＞0

x＞0

x(x+2)＜8

，∴0＜x＜2
∴不等式的解集为（0，2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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