已知函数f（x）=3xa+3(a-1)x，a≠0且a≠1．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；（2）已知当x＞0时，函数在（0，6）上单调递减，在（6，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3xa+3(a-1)x，a≠0且a≠1．（1）试就实数a的不同取值，写..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

3

x

a

+

3

(a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

6

）上单调递减，在（

6

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：卢湾区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-

a(a-1)

，0），（0，

a(a-1)

）；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，+∞）；
③当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-

a(a-1)

），（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，解得a=3，因此函数解析式为f（x）=

3

x

3

+

2

3

x

（ x≠0）．
（3）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x，y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0）．
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P′（p′，q′）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p′，q≠q′，
则P′也在曲线C上，由此得

q+q/

2

=k?

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2

3

p

，q′=

p/

3

+

2

3

p/

，整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

．
所以存在经过原点的直线y=

3

x及y=-

3

x为曲线C的对称轴．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3xa+3(a-1)x，a≠0且a≠1．（1）试就实数a的不同取值，写..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：