已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+12，且f(12)=0，当x＞12时，f（x）＞0．（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；（2）判断函数f（x）的单调性并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

1

2

，且f(

1

2

)=0，当x＞

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N^*）；
（2）判断函数f（x）的单调性并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=

1

2

，则f(1)=f(

1

2

)+f(

1

2

)+

1

2

，∴f(1)=

1

2

，
则当n∈N*，f(n+1)=f(n)+f(1)+

1

2

，∴f（n+1）-f（n）=1，
∴{f（n）}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

n+

n(n-1)

2

=

n2

2

；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
证明：设x₁＜x₂，x₁，x₂∈R，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f(x2-x1)+f(x1)+

1

2

-f(x1)
=f(x2-x1)+f(

1

2

)+

1

2

=f(x2-x1+

1

2

)，
∵x₂＞x₁，∴x2-x1+

1

2

＞

1

2

，
由于当x＞

1

2

时，f（x）＞0，
∴f(x2-x1+

1

2

)＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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