已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x₂＞x₁＞0，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁?

x2

x1

）-f（x₁）
=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1．
∴f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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