已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c∴f（0）=c，又f（0）=8∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c

∴f(x+1)-f(x)

=[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c)

=2ax+(a+b)

结合已知得：2ax+（a+b）=-2x+1，
∴

2a=-2

a+b=1

∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8
（Ⅱ）证明：设任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2)

=(-x12+2x1+8)-(-x22+2x2+8)

=(x22-x12)+2(x 1-x2)

=(x2-x1)(x2+x1-2)

又由假设知x₂-x₁＞0，而x₂＞x₁≥1
∴x₂+x₁-2＞0∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f（x）是二次函数，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．（Ⅰ）求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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