定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x2．（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；（3）是否存在整数k，-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k-1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使

f(x)+2kx-9

x

＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）
所以：2是函数f（x）的一个周期（2分）
（2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x-2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k-1，2k+1]，则x-2k∈[-1，1]∴f（x-2k）=（x-2k）²，
即f（x）=（x-2k）²，x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）当x∈[2k-1，2k+1]时，

f(x)+2kx-9

x

＞0?

x2-2kx+4k2

x

＞0
①当k≥1时，则2k-1≥1，∴x＞0
∴原题等价于x²-2kx+4k²-9＞0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立．
设g（x）=x²-2kx+4k²-9
当k≥1时，对称轴x=k≤2k-1
则g（2k-1）=4k²-2k-8≥0，
解得k≥

1+

33

3

或k≤

1-

33

4

∴整数k≥2（10分）
②当k≤-1时，则2k+1≤-1，∴x＜0，
∴原题等价于x²-2kx+4k²-9＜0对任意x∈[2k-1，2k+1]恒成立，
设g（x）=x²-2kx+4k²-9
当k≤-1时，对称轴x=k≥2k+1
则g（2k-1）=4k²-2k-8＞0，
解得

1-

33

3

＜k＜

1+

33

4

∴整数k=-1（14分）
③当k=0时，原命题等价于

x2-9

x

＞0对任意x∈[-1，1]恒成立
当x=1时，则-8＞0显然不成立∴k≠0（15分）
综上所述，所求k的取值范围是[2，+∞）∪-1．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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