已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，（1）求a，b，c，d的值；（2）求证：g（x）在R上是增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax2+d+1

bx+c

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，其中a，b，c，d∈Z，且f（1）=2，f（2）＜3，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求证：g（x）在R上是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f(x)=

ax2+d+1

bx+c

，g（x）=ax³+cx²+bx+d都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），
∴

ax2+d+1

-bx+c

=-

ax2+d+1

bx+c

解得c=0…（1分）
由g（-x）=-g（x）可得-ax³+cx²-bx+d=-ax³-cx²-bx-d
∴d=0…（2分）
∴f(x)=

ax2+1

bx

，g（x）=ax³+bx
由f（1）=

a+1

b

=2得a=2b-1，…（3分）
代入f（x）中得f(x)=

(2b-1)x2+1

bx

，
∵f（2）=

8b-3

2b

＜3，即4-

3

2b

＜3，
∴

3

2b

＞1，所以b＞0，由此可解得：0＜b＜

3

2

…（4分）
考虑到a，b，c，d∈Z，所以b=1，所以a=2b-1=1，…（5分）
综上知：a=1，b=1，c=0，d=0．…（6分）
证明（2）∵a=1，b=1，c=0，d=0，所以函数g（x）=x³+x，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，…（1分）

g(x2)-g(x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)(x22+x2x1+x12)+(x2-x1)

=(x2-x1)[(x22+x2x1+

1

4

x12)+

3

4

x12+1]=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12+1]

∵x₂-x₁＞0，(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12+1＞0，（如中间没配方，则-2分）
∴g（x₂）＞g（x₁），
∴g（x）在R上是增函数．…（4分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+d+1bx+c，g（x）=ax3+cx2+bx+d都是奇函数，其中a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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