设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g‘（x）（e为自然对数底数）．（Ⅰ）若函数y=f(2x)e-ag‘（x）+4a有最小值0，求实数a的值；（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g‘（x）（e为自然对数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
（Ⅰ）若函数y=

f(2x)

e

-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x₀，同时满足：（i）x₀是函数h（x）的零点；（ii）h′（x₀）=0．试确定x₀、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）∵y=

f(2x)

e

-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y′=2e2x-1-2a，
当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）
此时由2e^2x-1-2a=0得：x=

1

2

（lna+1），且x＞

1

2

（lna+1）时，y'＞0
x＜x＞

1

2

（lna+1）时，y'＜0，
∴x∈（-∞，

1

2

（lna+1））时，函数为减函数，
x∈（

1

2

（lna+1），+∞）时，函数为增函数，
∴ymin=a-2a?

1

2

(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)
（Ⅱ）∵h（x）=e^x+2n-n（x²+4x+5），∴h'（x）=e^x+2n-2nx-4n，
∵

{	h(x0)=0h′(x0)=0

，

{	ex0+2n=2nx0+4n(1)ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)

，
∴nx₀²+4nx₀+5n=2nx₀+4n由（1）知n≠0，∴2x₀+4=x₀²+4x₀+5，∴（x₀+1）²=0∴x₀=-1（9分）
代入（1）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且当x=

1

2

(lna+1)=

1

2

取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=

1

2

，∴x0=-1，n=

1

2

(11分)∵h(x)=ex+1-

1

2

(x2+4x+5)，∴设R(x)=h′(x)=ex+1-x-2，R'（x）=e^x+1-1，（12分）
∴x≥-1时，R'（x）≥0，x＜-1时，R'（x）＜0x=-1时，R（x）_min=0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex，g（x）=x2+4x+5，g（x）的导函数为g‘（x）（e为自然对数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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