设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1（1）求f（1）和f（12）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（

1

2

）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，则 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=1（4分）

（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴f(

x2

x1

)＜0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数（10分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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