设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（Ⅰ）若f(12)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=f(x)+k-1lo-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若f(

1

2

)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=

f(x)+k-1

log2x

在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由f(

1

2

)=0得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使

a＞0

4a-(a+1)2

4a

=0

，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴F(-x)=

log22x+2log2x+1 (x＞0)

0

(x=0)

-log22(-x)-2log2(-x)-1 (x＜0)

（2）g(x)=

log22x+2log2x+1+k-1

log2x

=log2x+

k

log2x

+2．x∈[2，4]．
得log₂x=t．则y=t+

k

t

+2，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或

k

≤1或

k

≥2时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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