已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有

3+2a+b=-1

3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]_min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±

2

3

．
所以f（x）在[-

2

3

，

2

3

]内递减，则|t-s|的最大值为

4

3

，因此②错误；
且f（x）的极大值为f（-

2

3

）=

16

3

9

，极小值为f（

2

3

）=-

16

3

9

，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=

16

3

9

，最小值为m=-

16

3

9

，则M+m=0，因此③正确．
故选B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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