已知函数f（x）是y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=-1x+2的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的解析式及定义域；（2）试问在函数F（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）是y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是y=

2

10x+1

-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=-

1

x+2

的图象关于直线x=-2成轴对称图形，设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的解析式及定义域；
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A，B坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由y=

2

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，x=lg

1-y

1+y

．
∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线x=-2的对称点P′的坐标为（-4-x，y）．
由题设知点P′（-4-x，y）在函数y=-

1

x+2

的图象上，
∴y=

1

x+2

，即g（x）=

1

x+2

（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

+

1

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）设F（x）上不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂ y₂），-1＜x₁＜x₂＜1
则y₁-y₂=F（x₁）-F（x₂）=lg

1-x1

1+x1

+

1

x1+2

-lg

1-x2

1+x2

-

1

x2+2

=lg(

1-x1

1+x1

?

1+x2

1-x2

)+(

1

x1+2

-

1

x2+2

)
=lg(

1+x2

1+x1

?

1-x1

1-x2

)+

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

．
由-1＜x1＜x2＜1 得

1+x2

1+x1

＞1，

1-x1

1-x2

＞1，x2-x1＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，
所以lg(

1+x2

1+x1

?

1-x1

1-x2

)＞0，

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，y₁＞y₂，
即F（x）是（-1，1）上的单调减函数，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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