若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)-f(x2)x1-x2＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0； ②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：
（1）f（x）=

1

x

（2）f（x）=x²
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

（4）f（x）=

-x2 x≥0

x2 x＜0

，
能被称为“理想函数”的有______（填相应的序号）．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，
（1）f（x）=

1

x

为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（-∞，0），（0，+∞），故排除（1）；
魔方格

（2）f（x）=x² 为定义域上的偶函数，排除（2）；
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，定义域为R，由于y=2^x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；
（4）f（x）=

-x2 x≥0

x2 x＜0

的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数
故答案为（4）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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