已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f（x）≤(x+12)2．（1）求f（1）的值；（2）证明：ac≥116；（3）当x∈[-2，2-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f （x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f （x）≤(

x+1

2

)2．
（1）求f （1）的值；
（2）证明：ac≥

1

16

；
（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f （x）-mx （m为实数）是单调的，求证：m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

试题来源：宣威市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤(

x+1

2

)2．令x=1
∴1≤f（1）≤(

1+1

2

)2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有

a-b+c=0

a+b+c=1

，可得b=a+c=

1

2

．
又对任意x，f（x）-x≥0，即ax²-

1

2

x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即

1

4

-4ac≤0，解得ac≥

1

16

．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2

ac

≥2?

1

16

=

1

2

．
当且仅当

a=c

a+c=

1

2

时等号成立．此时
a=c=

1

4

．
∴f （x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
F （x）=f （x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．
∴|

2-4m

2

|≥2．
解得m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：