设f（x）=log12(1-axx-1)为奇函数，a为常数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(12)x+m恒成立，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=log12(1-axx-1)为奇函数，a为常数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设f（x）=log

1

2

(

1-ax

x-1

)为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：长宁区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
∴log

1

2

(

1+ax

-x-1

)=-log

1

2

(

1-ax

x-1

)?

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

＞0?1-a2x2=1-x2?a=±1．
检验a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f(x)=log

1

2

(

x+1

x-1

)
证明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0＜

2

x1-1

＜

2

x2-1

?1+

2

x1-1

＜1+

2

x2-1

?0＜

x1+1

x1-1

＜

x2+1

x2-1

?log

1

2

(

x1+1

x1-1

)＞log

1

2

(

x2+1

x2-1

)
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）内单调递增．
（3）对[3，4]于上的每一个x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，即f(x)-(

1

2

)x＞m恒成立．
令g(x)=f(x)-(

1

2

)x．只需g（x）_min＞m，
又易知g(x)=f(x)-(

1

2

)x在[3，4]上是增函数，
∴g(x)min=g(3)=-

9

8

．
∴m＜-

9

8

时原式恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=log12(1-axx-1)为奇函数，a为常数，（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：