已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根．（1）求证：（a-数学试题及答案

1、试题题目：已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知三个函数y=|x|+1，y=

x2-2x+1+t

，y=

1

2

（x+

t

x

）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三个根．
（1）求证：（a-1）²=4（b+1）；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点，求|x₁-x₂|的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）三个函数的最小值依次为1，

t

，

t

，
由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，
所以f（x）=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a-1）x+a+b+1]，
故方程x²+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为

t

，

t

，
则

a+b+1=t

a+1=-2

t

，即4（a+b+1）=（a+1）²．
（或利用判别式△=0）
（2）由题意可知x₁，x₂是函数f（x）=x³+ax²+bx+c的两个极值点，则x₁，x₂是函数f'（x）=3x²+2ax+b=0的两个根．
故x1+x2=-

2a

3

，x1x2=

b

3

，△=4a²-2b＞0，
所以△=4a²-3（a-1）²+12=（a+3）²，
所以|x1-x2|=

|a+3|

3

，而2

t

=-(a-1)，
得a=-1-2

t

∈(-3，-1)，
故|x1-x2|∈(0，

2

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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