已知x，y≠kπ+π2（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．求证：（1）cos2x=12cos2y；（2）2(1-tan2x)1+tan2x=1-tan2y1+tan2y．-数学试题及答案

1、试题题目：已知x，y≠kπ+π2（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-10 07:30:00

试题原文

已知x，y≠kπ+

π

2

（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．
求证：（1）cos2x=

1

2

cos2y；（2）

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×

1-cos2x

2

-2×

1-cos2y

2

=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得cos2x=

1

2

cos2y；
（2）要证

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

，只需证

1-

sin2x

cos2x

1+

sin2x

cos2x

=

1-

sin2y

cos2y

2(1+

sin2y

cos2y

)

，
即证

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

cos2y-sin2y

2(cos2y+sin2y)

，即证cos²x-sin²x=

1

2

（cos²y-sin²y），只需证cos2x=

1

2

cos2y．
由（1）的结论，cos2x=

1

2

cos2y显然成立．
所以

2(1-tan2x)

1+tan2x

=

1-tan2y

1+tan2y

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x，y≠kπ+π2（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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