设函数f(x)=-cos2x-4t?sinx2cosx2+2t2-6t+2(x∈R)（1）当t=1时，求f（x）的最小值；（2）若t∈R，将f（x）的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt有且只-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=-cos2x-4t?sinx2cosx2+2t2-6t+2(x∈R)（1）当t=1时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-10 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=-cos2x-4t?sin

x

2

cos

x

2

+2t2-6t+2(x∈R)
（1）当t=1时，求f（x）的最小值；
（2）若t∈R，将f（x）的最小值记为g（t），求g（t）的表达式；
（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当t=1时，f（x）=-cos²x-2sinx+2-6+2=sin²x-2sinx-3=（sinx-1）²-4，
故当sinx=1时，f（x）有最小值等于-4．
（2）若t∈R，∵f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
且-1≤sinx≤1．
当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
综上，g（t）=

2t2- 4t + 2 ， t ＜-1

t2- 6t + 1 ， -1≤t ≤1

2t2- 8t +2 ， t ＞1

．
（3）当-1≤t≤1时，关于t的方程g（t）=kt 即 t²-6t+1=kt．由题意可得
关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]内有且只有一个实根，
①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1≤

6+k

2

≤1，解得 k=-4，或k=-8．
若 k=-4，方程有两个相等的根t=1，若 k=-8，方程有两个相等的根t=-1．
②当△=（6+k）²-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由题意可得 h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
综合①②可得，当k≥-4，或k≤-8 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．
故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8[∪[-4，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=-cos2x-4t?sinx2cosx2+2t2-6t+2(x∈R)（1）当t=1时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：