解：（1）由题意得AB的中点坐标为（-3 ，0），CD的中点坐标为（0，3），  
分别代入y=ax²+b，得，解得，，
∴这条抛物线的函数解析式为y=-x²+3；                                    
（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=，
∴，
∴∠C=60°，∠CBE=30°，
∴EC=BC=，DE=，                                
又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角，
（I）若∠ADF=90 °，∠EDF=120°-90°=30°，
在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2，
又∵E（t，3），F（t，-t²+3），
∴EF=3-（-t²+3）=t²，
∴t²=1，
∵t＞0，
∴t=1，                                    
此时，
∴，
又∵∠ADF=∠DEF，
∴△ADF∽△DEF；  
（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则，
设EF=m，则FB=3-m，
∴，即m²-3m+6=0，此方程无实数根，
∴此时t不存在；                                        
（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，
∴∠DAF≠90°，此时t不存在，                              
综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；
②。