如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C，D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．（1）求抛物线-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣1）三..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-14 07:30:00

试题原文

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2 ，0）、B（2 ，0）、C（0 ，﹣1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C，D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l₁、l₂．
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

试题来源：山东省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，
由

，
解得：a=

，b=0，c=﹣1，
所以y=

x²﹣1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
因为点M、N在抛物线上，
所以y₁=

x₁²﹣1，y₂=

x₂²﹣1，
所以x₂²=4（y₂+1）；
又ON²=x₂²+y₂²=4（y₂+1）+y₂²=（y₂+2）²，
所以ON=

，
又因为y₂≥﹣l，
所以ON=2+y₂．
设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l₁作垂线，
垂足为P、F，
则EF=

，
所以ON=2EF，
即ON的中点到直线l₁的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与l₁相切；
（3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，
则MN²=MH²+NH²=（x₂﹣x₁）²+（y₂﹣y₁），
又y₁=kx_1，y₂=kx₂，
所以（y₂﹣y₁）²=k²（x₂﹣x₁）²，
所以MN²=（1+k²）（x₂﹣x₁）²；
又因为点M 、N 既在y=kx的图象上，又在抛物线上，
所以kx=

x²﹣1，即x²﹣4kx﹣4=0，
所以x=

，
所以（x₂﹣x₁）²=16（1+k²），
所以MN²=16（1+k²）²，
∴MN=4（1+k²），
延长NP交l₂于点Q，
过点M作MS⊥l₂交l₂于点S，
则MS+NQ=y₁+2+y₂+2
=

x₁²﹣1+

x₂²﹣1+4=

（x₁²+x₂²）+2，
又x₁²+x₂²=2[4k²+4（1+k²）]=16k²+8，
所以MS+NQ=4k²+2+2=4（1+k²）=MN，
即M、N两点到l₂距离之和等于线段MN的长．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣1）三..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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