如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂-数学试题及答案

1、试题题目：如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且

，

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解．（1）如图建系，设椭圆方程为

，则c=1
又∵

即（a+c）（a﹣c）=1=a²﹣c²，
∴a²=2
故椭圆方程为

（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
则设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），
故k_PQ=1，
于是设直线l为y=x+m，
由

得3x²+4mx+2m²﹣2=0
∵

又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂﹣1）+（x₂+m）（x₁+m﹣1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0
由韦达定理得

解得

或m=1（舍）
经检验

符合条件

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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