已知数列{an}中，对一切自然数n，都有an∈（0，1）且an?an+12+2an+1-an=0．求证：（1）an+1＜12anSn；（2）若Sn表示数列{an}的前n项之和，则Sn＜2a1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，对一切自然数n，都有an∈（0，1）且an?an+12+2an+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，对一切自然数n，都有a_n∈（0，1）且a_n?a_n+1²+2a_n+1-a_n=0．求证：
（1）a_n+1＜

1

2

anS_n；
（2）若S_n表示数列{a_n}的前n项之和，则S_n＜2a₁．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知a_n?a_n+1²+2a_n+1-a_n=0得an=

2an+1

1-an+12

，
又因为a_n∈（0，1），所以0＜1-a_n+1²＜1，因此a_n＞2a_n+1，即an+1＜

1

2

an（6分）

（2）由结论（1）可知an＜

1

2

an-1＜

1

22

an-2＜…＜

1

2n-1

a1，即an＜

1

2n-1

a1，
于是Sn=a1+a2+…+an＜a1+

1

2

a1+…+

1

2n-1

a1=a1?

1-

1

2n

1-

1

2

＜ 2a1，
即S_n＜2a₁（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，对一切自然数n，都有an∈（0，1）且an?an+12+2an+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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