设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．（1）求数列{an}的通项an；（2）求{an}的-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足：a1=

5

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，且以a₁，a₂，a₃，…，a_n为系数的一元二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N^*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由3α-αβ+3β=1及韦达定理得3(α+β)-αβ=3

an

an-1

-

1

an-1

=1?an=

1

3

an-1+

1

3

(n∈N*，n≥2)．
（1）设有λ满足an+λ=

1

3

(an-1+λ)?λ=-

1

2

，即an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)．
所以数列{a_n-

1

2

]是以（a1-

1

2

）为首项，

1

3

为公比的等比数列．
所以an-

1

2

=(a1-

1

2

)?(

1

3

)n-1?an=(

1

3

)n+

1

2

（n∈N^*）
（2）Sn=a1+a2++an=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n+

n

2

=

n+1

2

-

1

2

?(

1

3

)n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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