定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项的“均倒数”为1n+2，（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和Sn，求limn→∞Sn+1Sn的-数学试题及答案

1、试题题目：定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

定义：数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

n

a1+a2+…+an

．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

n+2

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{b_n}的前n项和S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

Sn

的值；
（3）已知cn=(

4

5

)n，问数列{a_n?c_n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n（n+2）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1
而a₁=S₁=3适合上式
∴a_n=2n+1
（2）由（1）可得，bn=tan=t^（2n+1）
∴

bn+1

bn

=

t2n+3

t2n+1

=t²且，b₁=t³
∴{b_n}是以t³为首项，t²为公比的等比数列
当t=1时，S_n=n

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1
当t≠1时，Sn=

t3(1-t2n)

1-t2

，

Sn+1

Sn

=

1-t2n+2

1-t2n

若0＜t＜1，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=1
若t＞1，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

lim

n→∞

1

t2n

- t2

1

t2n

-1

=t²
（3）由（1）可得，a_n?c_n=（(2n+1)?(

4

5

)n
令D（n）=(2n+1)?(

4

5

)n，若D（n）最大
则

(2n+1)?(

4

5

)n≥(2n+3)?(

4

5

)n+1

(2n+1)?(

4

5

)n≥(2n-1)?(

4

5

)n-1

∴

2n+1≥

4(2n+3)

5

4(2n+1)

5

≥2n-1

∴

7

2

≤n≤

9

2

∵n∈N^*∴n=4，此时D（4）=9? (

4

5

)4最大

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为na1+a2+…+an．若数列{an}的前n项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：