已知函数f（x）=lg（x2+tx+1）（1）当t=-52，求函数f（x）的定义域；（2）当x∈[0，2]，求f（x）的最小值（用t表示）；（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lg（x2+tx+1）（1）当t=-52，求函数f（x）的定义域；（2）当..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1）
（1）当t=-

5

2

，求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[0，2]，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）x2-

5

2

x+1＞0?f(x)的定义域(-∞，

1

2

)∪(2，+∞)（2分）
（2）令g（x）=x²+tx+1，结合图象可得
①当-

t

2

≤0，即t≥0时，g(x)min=g(0)=1∴f(x)min=0…(1分)
②当0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0时，g(x)min=g(-

t

2

)=1-

t2

4

考虑到g（x）＞0，所以
1°-2＜t＜0，f(x)min=f(-

t

2

)=lg(1-

t2

4

)…(1分)
2°-4＜t≤-2，没有最小值…（1分）
③当-

t

2

≥2，即t≤-4时，g(x)min=g(2)=5+2t
考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值…（1分）
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时f(x)=

lg(1-

t2

4

)，-2＜t＜0

0，t≥0

…(2分)
（3）解法一：假设存在，则由已知得

a2+ta+1=a

b2+tb+1=b

0＜a，b＜2

a≠b

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根…..（2分）令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴

h(0)＞0

h(2)＞0

△＞0

0＜-

b

2a

＜2

?

1＞0

t＞-

3

2

(t-1)2-4＞0

0＜-

t-1

2

＜2

?-

3

2

＜t＜-1（2分）
解法2：假设存在，则由已知得

a2+ta+1=a

b2+tb+1=b

0＜a，b＜2

a≠b

等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根（2分）
等价于t=-(

1

x

+x)+1，x∈(0，2)，做出函数图象
可得-

3

2

＜t＜-1（2分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lg（x2+tx+1）（1）当t=-52，求函数f（x）的定义域；（2）当..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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