已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；（I）证明：|c|≤1；（II）证明：|a|≤2；（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
（I）证明：|c|≤1；
（II）证明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵当|x|≤1时，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由

f(0)=c

f(1)=a+b+c

f(-1)=a-b+c

得

a=

1

2

[f(1)+f(-1)]-f(0)

b=

1

2

[f(1)-f(-1)]

c=f(0)

∴g(1)=λa+b=λ?

1

2

[f(1)+f(-1)]-λf(0)+

1

2

[f(1)-f(-1)]=

λ+1

2

f(1)+

λ-1

2

f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ?

1

2

[f(1)+f(-1)]+λf(0)+

1

2

[f(1)-f(-1)]
=

1-λ

2

f(1)-

1+λ

2

f(-1)+λf(0)，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴|g(1)|=|

λ+1

2

f(1)+

λ-1

2

f(-1)-λf(0)|≤

λ+1

2

+

λ-1

2

+λ=2λ，
∴|g(-1)|=|

λ-1

2

f(1)-

λ+1

2

f(-1)+λf(0)|≤

λ-1

2

+

λ+1

2

+λ=2λ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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