定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R1凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，则称f（x）是R1凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，且a≠0）．
（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x
∴任取x₁，x₂∈k，则f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（a

x

21

+x1+a

x

22

+x2）=-

1

2

a(x1-x2)2
∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴

1

2

a(x1-x2)2≥0
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤0
∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]
∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．
（i）若x=0时，则a∈k恒成立，
（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-

1

x

-

1

x2

且a≤-

1

x

+

1

x2

∴a≥-

1

x

-

1

x2

=-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

且a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，
∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1．
∴当

1

x

=1时，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

的最4值为-（1+

1

2

）²+

1

4

=-2，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的最小值为（1-

1

2

）²-

1

4

=0
∴0≥a≥-2．
综（i）（ii）知，0≥a≥-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R1的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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