已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；（3）是否存在-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax²+bx-x=0的判别式为零
∴（b-1）²=0
∴b=1
代入①a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x
（2）f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

∴函数的对称轴为x=1
∴当x=1时，函数取得最大值为f(1)=

1

2

；
当x=-3时，函数取得最小值为f(-3)=-

15

2

；
（3）∵f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，
∴2n≤

1

2

∴n≤

1

4

而f（x）=-

1

2

x2+x的对称轴为x=1，
∴当n≤

1

4

时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)=2m

f(n)=2n

即

-m2+2m=4m

-n2+2n=4n

∴

m=0或m=-2

n=0或n=-2

∵m＜n≤

1

4

．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：