设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）设t=1+x+1-x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）．-数学试题及答案

1、试题题目：设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）设t=1+x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设a为实数，记函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵t=

1+x

+

1-x

，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，∴t的取值范围是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t2-1，∴m(t)=a(

1

2

t2-1)+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当a＞0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）当a=0时，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上单调递增，有g（a）=2；
3）当a＜0时，，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

时，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

，-

1

2

]时，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=

a+2 (a＞-

1

2

)

-a-

1

2a

(-

2

＜a≤-

1

2

)

2

(a≤-

2

)

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）设t=1+x..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：