已知向量a=（1，cosα），b=（1，sinβ），c=（3，1），且（a+b）∥c．（1）若α=π3，求cos2β的值；（2）证明：不存在角α，使得等式|a+c|=|a-c|成立；（3）求b?c-a2的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=（1，cosα），b=（1，sinβ），c=（3，1），且（a+b）∥c．（1）若α..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=（1，cosα），

b

=（1，sinβ），

c

=（3，1），且（

a

+

b

）∥

c

．
（1）若α=

π

3

，求cos2β的值；
（2）证明：不存在角α，使得等式|

a

+

c

|=|

a

-

c

|成立；
（3）求

b

?

c

-

a

²的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵

a

+

b

=(2，cosα+sinβ)，

c

=（3，1），且（

a

+

b

）∥

c

．∴

cosα+sinβ=

2

3

，

…（3分）
（1）∵α=

π

3

，∴cosα=

1

2

，∴sinβ=

1

6

，∴

cos2β=1-2sin2β=

17

18

．

…（6分）
（2）假设存在角α使得等式成立则有

a

2+2

a

?

c

+

c

2=

a

2-2

a

?

c

+

c

2
∴

a

?

c

=0

，∴cosα=-3，不成立，∴不存在角α使得等式成立．…（11分）
（3）∵

cosα+sinβ=

2

3

，

∴sinβ=

2

3

-cosα∈[-1，1]，

b

?

c

-

a

2=2+sinβ-cos2α=-cos2β-cosα+

8

3

=-(cosα+

1

2

)2+

35

12

∴-

1

3

≤cosα≤

5

3

，又-1≤cosα≤1，∴-

1

3

≤cosα≤1，…（13分）
∴当cosα=1时，ymin=

2

3

． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=（1，cosα），b=（1，sinβ），c=（3，1），且（a+b）∥c．（1）若α..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：